palavras chave: derivada direcional, gradiente, MinMax, nave espacial, Teorema da Função Implícita

Operadores diferenciais e equações diferenciais

Nesta lista de exercícios vou introduzir o conceito de equação diferencial e de operadores diferenciais. Mas o objetivo mesmo é de dar-lhe prática com o uso das derivadas parciais junto com introduzir alguns operadores clássicos, gradiente, rotacional, divergente, laplaciano, derivada direcional.
Também vou fazer uso de um teorema que posteriormente será objeto de uma lista de exercícios, o teorema da função implícita.

Este texto está sendo elaborado, quando estiver na forma definitiva esta observação será apagada.

Variedade de nível

Na primeira questão estamos trabalhando com
w = F(x,y,z)
que pode ser uma variedade de dimensão 3 para dela deduzirmos variedades de nível que podem ser de dimensão 2
F(x,y,z) = K; K um número real
sempre a suposição que encontramos uma solução F(a,b,c) = K;
o que pode ser dito com outras palavras, ``encontramos um ponto P=(a,b,c) por onde passa F(x,y,z) = K ". Sob certas condições, o teorema da função implícita nos garante que é possível explicitar uma das variáveis x,y,z em função das outras duas. Aqui estamos simplificando a linguagem e tratando de explicitar z como função de x,y , partindo da suposição que este caso é possível. Na prática isto deve ser verificado e considerado o caso possível, se existir. Uma das impossibilidades para escrevermos z = f(x,y); c = f(a,b) consiste em que Fz= 0 que você pode encontrar como um condicionante em uma das equações da lista de exercícios. Sendo possível escrever z = f(x,y); c = f(a,b) a derivada implícita desta expressão tem que ser dedutível da derivada implícita de F(x,y,z) = K e isto tem duas consequências:
  1. f é derivável;
  2. As derivadas parciais de f se deduzem da expressão da derivada implícita de f e os cálculos para obter estas derivadas parciais são \begin{eqnarray} \setcounter{equacaoUm}{\arabic{equation}} %%% (\arabic{equacaoUm}) & \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy + \frac{\partial F}{\partial x} dz = 0\\ & \frac{\partial F}{\partial x}(x-a) + \frac{\partial F}{\partial y}(y-b) + \frac{\partial F}{\partial x}(z-c) = 0\\ &\frac{\partial F}{\partial z}|_{P} \neq 0 \rimp \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{\partial F}{\partial x}/\frac{\partial F}{\partial z};\\ \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{\partial F}{\partial y}/\frac{\partial F}{\partial z};\\ dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \\ z-c = \frac{\partial f}{\partial x}|_{(a,b)}(x-a) + \frac{\partial f}{\partial y}|_{(a,b)}(y-b) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} A equação \addtocounter{equacaoUm}{1} (\arabic{equacaoUm}) \addtocounter{equacaoUm}{-1} é a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto $(a,b,f(a,b))$ o vetor $$ ( \frac{\partial F}{\partial x}|_{P}, \frac{\partial F}{\partial y}|_{P}, \frac{\partial F}{\partial z}|_{P}) $$ é perpendicular ao plano tangente (variedade linear de dimensão dois tangente) ao gráfico de f, ou equivalentemente ao gráfico da variedade de nível de dimensão dois F(x,y,z) = K no ponto $P = (a,b,c); c = f(a,b)$.
É o Teorema da Função Implícita que descreve as condições em que é possível explicitar uma das variáveis em uma expressão.

Operador diferencial

$\nabla$ é um {\em operador diferencial}:
``operadores'' são funções que tem funções como parâmetros, assim evitam-se frases como "vou aplicar a função Tna função f'', e na verdade ``operadores'' tem uma hierarquia diferente, eles em geral são definidos em espaços de funções. A integral é um operador, assim como a derivada. Chamamos de operadores diferenciais aqueles que envolvem o {\em operador derivada}. Como as funções multivariadas tem diversas formas de diferenciação (derivadas parciais) há uma riqueza muito grande de operadores diferenciais definidos em espaços de funções multivariadas.
Os operadores diferenciais (como qualquer função) definem equações, mas neste caso são as ``equações diferenciais''. A importância destas equações é muito grande pelo potencial de informações que elas codificam: guardam os aspectos dinâmicos da realidade que elas modelam.

O gradiente

O Gradiente tem dois nomes, também é chamado de Nabla. Em português parece ser mais comum usar a denominação "Gradiente". Por definição
\begin{equation} \setcounter{equacaoUm}{\arabic{equation}}%%%(\arabic{equacaoUm}) \left\{ \begin{array}{l} w = F(x,y,z); \\ \nabla F = \left( F_{x}, F_{y}, F_{z} \right)\\ \nabla() = \left( \frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y} , \frac{\partial }{\partial z} \right)\\ \end{array} \right. \end{equation} Na última linha, na equação (\arabic{equacaoUm}), você a definição do operador, $$ \nabla(F) = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y} , \frac{\partial F}{\partial z} \right) $$ Quando calculamos a derivada implícita de f vemos aparecer o Gradiente num aparente produto escalar: \begin{equation} \setcounter{equacaoDois}{\arabic{equation}}%%%(\arabic{equacaoDois}) \left\{ \begin{array}{l} w = F(x,y,z); \\ dw = F_{x}dx + F_{y}dy = F_{z}dz = \nabla(F) \cdot (dx, dy, dz) \\ \end{array} \right. \end{equation} Esta expressão é histórica e cheia de contradições uma das quais vem da impossibilidade de se dar valores às ``variáveis'' ``dx'', ``dy'', ``dz'' e durante mais de um século os matemáticos usavam estas ``variáveis'' sem exatamente saber o que elas significavam: não eram variáveis.
Foi preciso mais de dois séculos para conseguissemos atingir uma compreensão clara da expressão na equação acima: é um modelo para construirmos a variedade linear tangente e a forma de obtenção passa pelas transformações (não é dar valor a estas variáveis, é interpretá-las com um meio de transformação): \begin{equation} \setcounter{equacaoTres}{\arabic{equation}}%%%(\arabic{equacaoTres}) \left\{ \begin{array}{l} w = F(x,y,z); \mbox{ e sabemos que } F(a,b,c) = D \\ dx := (x-a); dy := (y-b); dz := (z-c); \\ F_{x}|_{(a,b,c)} = A; F_{y}|_{(a,b,c)} = B; F_{z}|_{(a,b,c)} = C; \\ A(x-a) + B(y-b) + C(z-c) = 0 \end{array} \right. \end{equation} Feitas estas transformações, a partir do fato de que existe um ponto (a,b,c) que satisfaça à variedade de nível F(x,y,z) = D deduzimos a equação da variedade linear tangente à variável de nível neste ponto P = (a,b,c). Este método é muito poderoso e sua prática evita erros graves. Ao mesmo tempo este formalismo nos conduz a um resultado importante, o operador Gradiente produz um vetor perpendicular à variedade w = F(x,y,z) e em consequência também á variedade linear tangente F(x,y,z) = D isto se deduz da equação linear que aparece na última linha da equação (\arabic{equacaoTres}), em que o vetor (A, B, C) é perpendicular à variedade linear tangente deduzida neste sistema de equações, sendo perpendicular à variedade linear tangente, o é também à variedade z = F(x,y,z) . Daí se pode facilmente deduzir um vetor normal dividindo pelo módulo de (A, B, C) . Finalmente, como (A, B, C) é perpendicular à variedade de nível se conclui que este vetor mostra um caminho para o máximo ou o mínimo de z = F(x,y,z) , observe o que a figura (\ref{ArquivoTresUm}), página \pageref{ArquivoTresUm}, \leavevmode \begin{figure}[ht] \center \includegraphics[width=12cm,height=12cm] {/home/tarcisio/tex/calculo/multivariado/exercicios/Gradiente/arquivo_03_01.eps} \caption{\footnotesize Um caminho para o MinMax de f } \label{ArquivoTresUm} \index{figura!Caminho para MinMax} \end{figure} mostra um caminho para para um ponto extremo. Nesta figura vê-se uma única ``curva de nível'', mas se houver uma sucessão de ``curvas de nível'' encaixadas, conseguiremos construir uma poligonal usando a direção do gradiente que se aproxima do extremo, como mostra a figura (\ref{ArquivoTresDois}), página \pageref{ArquivoTresDois}. \leavevmode \begin{figure}[ht] \center \includegraphics[width=12cm,height=12cm] {/home/tarcisio/tex/calculo/multivariado/exercicios/Gradiente/arquivo_03_02.eps} \caption{\footnotesize Uma poligonal em direção a um extremo } \label{ArquivoTresDois} \index{figura!Caminho para minMax} \end{figure}

Rota Terra-Marte de um navio espacial

Produzimos a rota Terra-Marte de um navio espacial, usando propulsão e a gravitação universal, a figura (\ref{ArquivoQuatroUm}), página \pageref{ArquivoQuatroUm}, exemplifica parte do que acontece usando cinco nós gravitacionais mais importantes. \leavevmode \begin{figure}[ht] \center \includegraphics[width=12cm,height=12cm]{exercicios/Gradiente/arquivo_04_01.eps} \caption{\footnotesize rota Terra-Marte de um navio espacial } \label{ArquivoQuatroUm} \index{figura!rota espacial} \end{figure} A função w = F(x,y,z,t) que expressa a força gravitacional sobre um objeto no espaço pode ser modelada usando apenas a lei de Newton da gravitação universal para uma viagem espacial {\em pequena} como esta entre Terra e Marte. Como tal, f é a solução de um {\em sistema de equações diferenciais} que será mais ou menos complexa em função dos {\em nós gravitacionais} considerados importantes para resolver o problema duma trajetória pretendida, quando se desprezam todos os nós, exceto uma pequena quantidade, e se faz a correção da trajetória usando propulsão. O resultado é uma orbita que representa uma {\em solução aproximada da equação diferencial} que aparece na figura (\ref{ArquivoQuatroUm}), página \pageref{ArquivoQuatroUm}. Neste ponto, a influência gravitacional do nó 2 é muito pequena comparada com a influência do nó 1 isto está sugerido com a {\em regra do paralelogramo deformada} que aparece na figura (\ref{ArquivoQuatroQuatro}). \leavevmode \begin{figure}[ht] \center \includegraphics[width=12cm,height=12cm] {/home/tarcisio/multi/exercicios/Gradiente/arquivo_04_02.eps} \caption{\footnotesize Campo vetorial - modelagem de uma equação diferencial } \label{ArquivoQuatroTres} \index{figura!campo vetorial} \end{figure} A figura (\ref{ArquivoQuatroTres}), página \pageref{ArquivoQuatroTres} mostra um campo vetorial discreto cujas soluções são ramos de hipérbole e foi obtida com por um programa escrito em {\tt calc} que produziu um arquivo de dados para {\tt gnuplot}. A inclusão desta figura aqui tem apenas o objetivo de mostrar-lhe qual é o resultado da ``solução discreta'' de uma equação diferencial: um campo vetorial discreto ``sugerindo'' as linhas de ação das órbitas (soluções) duma equação diferencial. O objetivo é usar a rota da nave no percurso Terra-Marte como motivação para uso da {\em derivada direcional}, que vai responder por cada uma das parcelas {\em levemente} corrigidas pela {\em propulsão}. O que estamos mostrando aqui com este exemplo imponente, rota de uma nave entre Terra e Marte, é o que acontece corriqueiramente num avião que usa um {\em piloto automático}, que é o papel do programa que dirige o vôo da nave: corrigir o vôo a cada cíclo de funcionamento do programa. A figura (\ref{ArquivoQuatroQuatro}), página \pageref{ArquivoQuatroQuatro}, \leavevmode \begin{figure}[ht] \center \includegraphics[width=12cm,height=12cm] {/home/tarcisio/multi/exercicios/Gradiente/arquivo_04_04.eps} \caption{\footnotesize A derivada direcional } \label{ArquivoQuatroQuatro} \index{figura!Derivada direcional} \end{figure} mostra um {\em passo} desta correção que é feita a cada cíclo do programa, a solução que vemos na figura (\ref{ArquivoQuatroUm}) é ``quase uma poligonal'' com lados {\em relativamente muito pequenos}. Não é uma poligonal porque a influência gravitacional é permanente, não apenas dos {\em nós gravitacionais selecionados}, mas de todos os corpos\footnote{%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% A influência da quase totalidade deles, somada, é tão pequena que pode ser desprezada na obtenção do resultado final desejado.%%%%%%%%%%%%%%% } celestes presentes no Universo\dots e também devido às pequenas correções feita com propulsão quando se verifica um afastamento da rota desejada. Para que você perceba melhor o signficado desta ``convergência da soma das influências gravitacionais'', e a pequena influência da grande maioria das parcelas abandonadas, considere dois exemplos:
  1. Uma soma de Riemann é uma ``{\em soma finita}'' quer dizer que nela desprezamos a {\em quase totalidade das parcelas} retendo apenas uma quantidade finita das mesmas. A parte desprezada é tão pequena que não influencia muito no resultado final, se a função for integrável.
  2. A soma dos termos da sucessão $\frac{1}{k^{2}}; k \geq 1 $ é finita e vale $\frac{\pi^{2}}{6}$ e se você rodar um programa para somar estes termos, desprezando quase todos, exceto os primeiros $N$: $$ \sum\limits_{k=1}^{N} \frac{1}{k^{2}} $$ o programa irá parar quando $k=N$, o resultado será menor do que $ \frac{\pi^{2}}{6} $ não importa qual o valor que você escolher para $N$. Experimente: \begin{verse} define soma(n) $\{$ \\ \par \hskip 1cm local soma = 0, k = 1;\\ \par \hskip 1cm while ($k <= n$)$\{$\\ \par \hskip 1cm \hskip 1cm soma = soma + 1.0/power(k,2);\\ \par \hskip 1cm \hskip 1cm k = k + 1;\\ \par \hskip 1cm $\}$\\ \par \hskip 1cm return soma;\\ $\}$; \\ print soma(10000) $\approx \frac{\pi^{2}}{6} $ \\ \end{verse}
A regra do paralelogramo que aparece em uso na figura (\ref{ArquivoQuatroQuatro}) mostra a composição das forças gravitacionais emanadas dos nós \underline{$1,2$} para um determinado valor do tempo. Neste instante o nó \underline{$2$} tem uma influência muito fraca. Esta influência irá aumetando até que a nave espacial atinja a vizinhança de Marte onde a influência do planeta que é objetivo da rota se torna mais significativa, entretanto não seria suficiente para reter a nave em sua órbita sendo necessário nova correção com propulsão para que a nave entre em órbita de Marte e finalmente pouse no planeta. Verique quais das opções representam cálculos corretos em que \begin{equation} \setcounter{equacaoDois}{\arabic{equation}}%%%(\arabic{equacaoDois}) \left\{ \begin{array}{l} F(x,y,z,t) = D ; \\ F_{x}dx + F_{y}dy +F_{z}dz = 0; \\ D = F(a,b,c,t_{0}); \mbox{ ponto onde passa a hipersuperfície} \\ \end{array} \right. \end{equation} representa uma superfície de nível onde se move a nave espacial, a derivada implícita que serve de modelo para a variedade linear tangente, o valor de f no ponto de tangência. Não ``existe'' nenhuma expressão formal para f, porém as expressões matemáticas das derivadas direcionais representam as ``linhas de ação'' da força gravitacional em ação sobre a nave e de fato são as derivadas direcionais da força gravitacional total representada pelo símbolo f. Os simbolos $\vec{u}, \vec{v}$ representam, respectivamente, vetors unitários na direção dos nós gravitacionais $1$ e $2$.
  1. O produto escalar destes vetores com o {\em gradiente}, $\nabla(F)$, que surge quando calcularmos a derivada implícita de f, fornece a intensidade (um número) da força gravitacional do nó respectivo sobre a nave.
  2. Estes produtos tem que ser multiplicados pelo vetor unitário para ``criar'' um vetor na direção desejada e somados para produzir a diagonal da regra do paralelogramo.
  3. Finalmente temos que somar a diagonal ao vetor posição para obtermos o resultado gráfico da força gravitacional atuando sobre a nave, isto completa o formalismo matemático, dentro do programa, para retratar a realidade da Física.
As contas devem traduzir estas {\em operações físicas} dentro do programa que conduz a nave e este deve calcular os erros de rota e operar os propulsores para fazer a correção. Aqui estamos apresentando o formalismo matemático que se encontra dentro do programa. A figura (fig. (\ref{ArquivoQuatroCinco}) representa uma parcela na soma dos ``lados'' que compõem a a rota Terra-Marte. \leavevmode \begin{figure}[ht] \center \includegraphics[width=12cm,height=12cm] {/home/tarcisio/multi/exercicios/Gradiente/arquivo_04_04.eps} \caption{\footnotesize A derivada direcional } \label{ArquivoQuatroCinco} \index{figura!Derivada direcional} \end{figure}

O laplaciano

O operador de Laplace, também chamado {\em Laplaciano} tem uma expressão muito interessante que pode ser relacionado com {\em Gradiente} \index{Laplace!operador de }\index{operador!Laplaciano} \begin{equation} %% \setcounter{equacaoUm}{\arabic{equation}}%%%(\arabic{section}.\arabic{equacaoUm}) \setcounter{equacaoUm}{\arabic{equation}}%%%(\arabic{equacaoUm}) \Delta(F) = \nabla^{2}(F) = \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}} \end{equation} é o quadrado do módulo do gradiente. As duas notações são muito usadas, mas há uma preferência pela primeira $\Delta(F)$. Se considerarmos f uma variável, uma expressão desconhecida, $\Delta(F)=0$ é uma {\em equação diferencial parcial} de segunda ordem conhecida como equação de Laplace sendo uma das poucas {\em equações diferenciais parciais} sobre a qual se {\em conhece tudo}\dots as soluções desta equação foram descobertas {\em por acaso} ao longo dos muitos estudos que ela mereceu desde os primeiros estudos deste assunto no século 16, mas foi preciso chegarmos ao século 19 para que se consolidasse a resposta: {\em as funções harmônicas}. \index{harmônicas!funções} A pesquisa moderna se dedica a procurar soluções para equações derivadas da equação de Laplace quando se a altera com ``pequenos termos'' produzindo equações sem solução conhecida e que representam interessantes desafios que se justificam: {\em a natureza não é harmônica como as leis da Física tentam impor, mas pequenas distorções na equação de Laplace traduzem o comportamento de muitos fenômenos da natureza}. E aqui surge uma palavra que é chave nos estudos das equações diferenciais, ``perturbação''. Um exemplo lhe mostra uma equação publicada recentemente com algumas soluções encontradas \begin{equation} %%\setcounter{equacaoUm}{\arabic{equation}}%%%(\arabic{section}.\arabic{equacaoUm}) \setcounter{equacaoUm}{\arabic{equation}}%%%(\arabic{equacaoUm}) - \Delta u - \frac{r}{\|x\|^{2}}u = f(x,u); u \in H_{0}^{1}(\Omega) \end{equation} em que você pode ver a pertubação $ \frac{r}{\|x\|^{2}}$ presente na equação que objetiva entender o comportamento de certas funções $u$ nas vizinhanças de zero. A Física e a Engenharia descobriram nestes trezentos anos de estudo das equações diferenciais que a equação de Laplace ou algumas modificações dela, descreve bem alguns fenômenos de fluxos,ŕpropagação da densidade de um fluxo dentro de outro, ou a concentração na diluição de compostos químicos. Todos estes fenômenos são importantes para nós hoje em dia tomados pelos problemas de poluição. A equação de Laplace é uma equação simples (e resolvida) de uma classe de equações chamadas {\em elípticas}. \index{elípticas!equações diferenciais} \index{equações diferenciais!elípticas} Os objetivos aqui são mostrar-lhe que as equações diferenciais existem e criar alguma experiência inicial com elas, apresentar o uso da notação.