%%%   	assunto desta lista  <<<  coloque aqui o assunto desta lista
%%% 	Preencha o numero da lista
%%%  	Preencha o assunto 
%%%  	Preencha o objetivo

\begin{center}
 \begin{tabular}{ll}
{\bf  Cálculo multivariado} & {\bf numero. Lista 01}  \\
{\bf Derivadas parciais} & tarcisio@member.ams.org   \\
{T. Praciano-Pereira  } & {\bf Dep. de Computação}  \\
{\huge \bf alun@:                          } \\ \hline \hline
\today & {\bf    Univ. Estadual Vale do Acaraú}  \\ \hline \hline
Documento escrito com \latex - sis. op. Debian/Gnu/Linux \\ \hline
http://www.multivariado.sobralmatematica.org/
\end{tabular}
\end{center}
\parag {\large Se entregar em papel, por favor, 
prenda esta {\em folha de rosto} na sua solução
        desta lista, deixando-a em branco. Ela será usada na
correção.} 

\newpage

%% \input{exercicios/DerivadaParcial} %% é uma seção...

\begin{exercicios}{Operadores diferenciais}

\underline{objetivo:} Derivação parcial e análise vetorial

\underline{\bf palavras chave:}   
Curvas no espaço 3D,
derivadas parciais, 
derivação implícita, 
equações diferenciais.
%% operadores diferenciais.

\begin{enumerate}

%% uma lista de \input{} no formato abaixo - para criar a solução da lista bastará
%% acrescentar _sol  às variáveis dentro dos \input{}

%% nunca vá além do  (e) - corrija as questões antes de publicar 
%% crie sempre arquivo_XX.tex   e  arquivo_XX_sol.tex (faça um cp e depois corrija)
%%  11111111111111111)  %% coloque aqui o número da questão - facilita na correção
%% Observação: alguma que deva ser inclúida, prerequesito para esta questão?
%% NN itens verdadeiros <<<<<<   complete  NN  

%% \item  11111111111111111)  %% o número da questão: facilita na correção


\item \underline{assunto} Derivadas parciais 
%%% coloque aqui o texto inicial

Considere a função $z = F(x,y) = x^{3} + 3x^{2}y -5xy^{2} + y^{4}$

\begin{enumerate}

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}  $\frac{\partial F}{\partial x} =
		3x^{2} + 6xy - 10xy + 4y^{3} $ 

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}  $\frac{\partial F}{\partial x} =
                3x^{2} + 6xy - 5y^{2} $ 

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}  $\frac{\partial F}{\partial y} =
	 =  3x^{2} - 10xy + 4y^{3}$
		
\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}  $\frac{\partial F}{\partial y} =
			3x^{2} + 6xy - 5y^{2} $
 

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}  $\frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}} =
			 - 10x + 12y^{2}$

\end{enumerate}

%% nunca vá além do  (e) - corrija as questões antes de publicar 
%% crie sempre arquivo_XX.tex   e  arquivo_XX_sol.tex (faça um cp e depois corrija)
%%  11111111111111111)  %% coloque aqui o número da questão - facilita na correção
%% Observação: alguma que deva ser inclúida, prerequesito para esta questão?
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%% 11111111111111111)  %% o número da questão: facilita na correção

\item \underline{Produto vetorial} 
%%% coloque aqui o texto inicial
Dados os vetores 
\begin{equation}   
\setcounter{equacaoUm}{\arabic{equation}}%%%(\arabic{equacaoUm})
u = (1,2,3); v = (1,-2,-3)
\end{equation}

%% sub-enumeração (5) itens da questão
\begin{enumerate}

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} $\|u\| = \sqrt{1+4+9}= \sqrt{14}; 
	\|v\| = \sqrt{1+4+9}= \sqrt{14};$

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} $u\cdot v= 14 cos(\theta)$ em que 
$\theta$ é o angulo entre estes dois vetores.

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Os vetores $u,v$ são perpendiculares.

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} O coseno do ângulo entre os vetores $u$ 
e $v$ é 
$$
	\frac{u\cdot v}{\|u\| \|v\|} = \frac{-12}{14} = -\frac{6}{7}
$$


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}  A projeção do vetor $w = (3,-5,8)$ na 
direção do vetor $u$ é o número positivo
$$
	\| \frac{w \cdot u}{\|u\|} \| =    \frac{\|w \cdot u \|}{\|u\|} =
	 \frac{17}{98}
$$

\end{enumerate}

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\item \underline{derivação implicita} 
%%% coloque aqui o texto inicial

Sendo $F(x,y) = xy/(1 + x^{2} + y^{2} )$

%% f(x,y) = x*y/(1+pow(x,2)+pow(y,2));
%% df_x(x,y) = ( y*(1+pow(x,2)+pow(y,2)) - 2*pow(x,2)*y)/pow(1 + pow(x,2) +  pow(y,2) ,2)
%% df_y(x,y) = ( x*(1+pow(x,2)+pow(y,2)) - 2*x*pow(y,2))/pow(1 + pow(x,2) +  pow(y,2) ,2)
%% P(x,y) = f(a,b) + df_x(a,b)*(x-a) + df_y(a,b)*(y-b);

%% sub-enumeração (5) itens da questão
\begin{enumerate}

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} 
$ F_{x} = \frac{y (1 + x^{2} + y^{2} ) - 2x^{2}y }{(1 + x^{2} + y^{2} )^{2}}$
e 
$ F_{y} = \frac{x (1 + x^{2} + y^{2} ) - 2xy^{2} }{(1 + x^{2} + y^{2} )^{2}}$

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} O plano tangente ao gráfico de $z = F(x,y)$
no ponto $(a,b)$ é 
$$
	P(x,y) = F(a,b) + F_{y}(a,b)(x-a) + F_{x}(a,b)(y-b);
$$ 

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} O plano tangente ao gráfico de $z = F(x,y)$
no ponto $(a,b)$ é 
$$
	P(x,y) = F(a,b) + F_{x}(a,b)(x-a) + F_{y}(a,b)(y-b);
$$ 

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Usando a equação do plano tangente no ponto 
$(a,b) = (-3.0, -3.0)$, $z = P(x,y)$  podemos calcular um valor aproximado para
$F(-3.01, -3.01) \approx   0.473850415512465 $. 

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} A derivada implícita de $z = F(x,y)$ é 
$$
   dz = F_{x} dx +  F_{y} dy 
$$
em que  substituindo $dx, dy, dz$ por $x-a, y-b, z-c; c = F(a,b)$,
respectivamente, resulta na equação 
do plano tangente no ponto $(a,b,c)$. 

\end{enumerate}

%% nunca vá além do  (e) - corrija as questões antes de publicar 
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%%  11111111111111111)  %% coloque aqui o número da questão - facilita na correção
%% Observação: alguma que deva ser inclúida, prerequesito para esta questão?
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%% 11111111111111111)  %% o número da questão: facilita na correção

\item \underline{Derivada implícita} 
%%% coloque aqui o texto inicial

%% sub-enumeração (5) itens da questão
\begin{enumerate}

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Sendo $z = F(x,y) = \frac{xy}{cos(xy)}$
então
$$
 F_{x} =  \frac{ycos(xy) - xy^{2} sin(xy)}{cos^{2}(xy)}
$$

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Sendo $z = F(x,y) = \frac{xy}{cos(xy)}$
então
$$
  F_{x}dx =    \frac{ycos(xy) + xy^{2} sin(xy)}{cos^{2}(xy)} dx 
$$

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Sendo $z = F(x,y) = \frac{xy}{cos(xy)}$
então
$$
  F_{y} =  \frac{xcos(xy) - x^{2}y sin(xy)}{cos^{2}(xy)} 
$$ 

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}  Sendo $z = F(x,y) = \frac{xy}{cos(xy)}$
então
$$
  F_{y}dy  =  \frac{xcos(xy) + x^{2}y sin(xy)}{cos^{2}(xy)} dy 
$$

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}  Sendo $z = F(x,y) = \frac{xy}{cos(xy)}$
então
a equação do plano tangente no ponto $(a,b,c) = (a,b,F(a,b))$ é o
polinômio do primeiro grau
$$
P(x,y) = \frac{ab}{cos(ab)} + 
	 \frac{bcos(ab) + ab^{2} sin(ab)}{cos^{2}(ab)}(x-a) +
	\frac{acos(ab) + a^{2}b sin(ab)}{cos^{2}(ab)}(y-b)
$$


\end{enumerate}


%% nunca vá além do  (e) - corrija as questões antes de publicar 
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%%  11111111111111111)  %% coloque aqui o número da questão - facilita na correção
%% Observação: alguma que deva ser inclúida, prerequesito para esta questão?
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%% 11111111111111111)  %% o número da questão: facilita na correção

\item \underline{Curvas no espaço} 
%%% coloque aqui o texto inicial

O gráfico de uma função univariada assumindo valores no espaço $3D$ pode ser uma
curva $\alpha(t) = (x(t), y(t), z(t))$ e sua derivada seria 
$$
\alpha ' (t) = (x ' (t), y ' (t), z ' (t));
$$ se existir. 

%% sub-enumeração (5) itens da questão
\begin{enumerate}

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Seja $\alpha(t) = (cos(t), sin(t), 4)$ o
gráfico de $alpha$ é uma curva plana do espaço $3D$


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Se  $\alpha(t) = (cos(t), sin(t), 4)$  então
sua derivada  $alpha$ é $\alpha ' (t) = ( sin(t), cos(t), 0)$
é 
uma curva plana do espaço $3D$


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Se  $\alpha(t) = (cos(t), sin(t), 4)$  então
sua derivada  $alpha$ é $\alpha ' (t) = ( -sin(t), cos(t), 0)$
é 
uma curva plana do espaço $3D$


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Se  $\alpha(t) = (cos(t), sin(t))$  então
sua derivada  $alpha$ é $\alpha ' (t) = ( -sin(t), cos(t))$
é 
uma curva plana do espaço $2D$ e portanto também do espaço $3D$
e a figura (\ref{ArquivoCincoUm}),  página \pageref{ArquivoCincoUm}, 
\leavevmode
\begin{figure}[h]
%% \begin{floatfigure}[r]{60mm}  %% [r,l,p,v]{75mm}
\centering\texttt{
\includegraphics[width=50mm,height=40mm]
{/home/tarcisio/tex/calculo/multivariado/exercicios/der_parcial/arquivo_05_01.eps}
\caption{\footnotesize Um vetor tangente á curva}
\index{figura!vetor tangente}
\label{ArquivoCincoUm}
} %%% fim do center
\end{figure}
mostra um vetor tangente à curva no ponto $cos(\gamma), sin(\gamma))$


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Se  $\alpha(t) = (cos(t), sin(t), t)$  então
sua derivada  $alpha$ é $\alpha ' (t) = ( -sin(t), cos(t),1)$. Suponha que
$alpha$ represente a posição de um ponto no espaço no instante $t$, então
a velocidade com que este ponto trafega no espaço tem módulo constante, igual
$\sqrt{2}$, entretanto a velocidade não é constante.

\end{enumerate}

\end{enumerate} %%%-------------------------------------
\end{exercicios}



