%%%   	assunto desta lista  <<<  coloque aqui o assunto desta lista
%%% 	Preencha o numero da lista
%%%  	Preencha o assunto 
%%%  	Preencha o objetivo
%% \twocolumn 
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=02cm,height=02cm]
{/home/tarcisio/tex/00pequena.eps}
\end{figure}
\begin{scriptsize}
\cola   \begin{tabular}{lr}
{\bf  Cálculo II } & {\bf Lista  01 }, \today  \\
Assunto: {\bf Derivadas  } & tarcisio.praciano@gmail.com   \\
{T. Praciano-Pereira  } & {\bf Dep. de Computação  -  UeVA } \\
{\huge \bf alun@:        } \\ \hline \hline
{\bf www.multivariado.sobralmatematica.org} \\ \hline
Documento produzido  com \latex  &  sis. op. Debian/Gnu/Linux \\ \hline \hline
\end{tabular}
\end{scriptsize} %%%

\begin{small}

Data da entrega da lista: dia 23 de Agosto, segunda-feira.


\subsection{Objetivo}

\parag Uma variedade linear tangente ao gráfico de uma
função de várias variáveis generaliza a idéia da reta tangente 
do Cálculo I. 

Uma função multivariada tem uma
matriz de coeficientes angulares instantâneos (que não é única,
depende de um referêncial) como derivada. 

É importante repetir a última frase com outra formulação: a derivada
de uma função multivariada {\em derivável} é uma matriz definida em cada 
ponto do domínio. 

Comparativamente, se $f$ for uma função {\em derivável}
então


\begin{enumerate}
\item  \underline{caso univariado}, a cada ponto $a \in Dom_{f}$, do domínio
de $f$, temos o coeficiente angular $f'(a)$ em que $f'$ é uma nova função,
designada derivada de $f$, e 
\begin{equation}   
\setcounter{equacaoUm}{\arabic{equation}}  %%%  (\arabic{equacaoUm})
y = P(x) = f(a) + f'(a)(x-a); \ a \mapsto f'(a); \ a \in Dom_{f};
\end{equation} 
é a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(a,f(a))$.
$P$ é um polinômio de grau menor ou igual 1 (porque $f'(a)$ pode ser
zero em algum ponto $a \in Dom_{f}$). 

Observe que se $f$ for uma função polinomial de grau menor ou igual a 1
então $P$ coincide com $f$.

\item  \underline{caso univariado}, a cada ponto 
 $
(a_{1}, \cdots a_{n}) \in Dom_{f}
$
 temos uma matriz de  coeficientes angulares $J(f)(a)$ em que $J(f)$ 
é uma nova função,
designada derivada de $f$, e
\begin{eqnarray}   
& \setcounter{equacaoDois}{\arabic{equation}}  %%%  (\arabic{equacaoDois})
(a_{1}, \cdots a_{n}) \in Dom_{f}; x = (x_{1}, \cdots x_{n}) \in Dom_{f};\\
& y = P(x) = f(a) + J(f)(a)(x-a); \ a \mapsto J(f)(a); \ a \in Dom_{f};
\end{eqnarray} 
$P$ é um polinômio de grau menor ou igual 1 (porque $f'(a)$ pode ser
zero em algum ponto $a \in Dom_{f}$), e observe que se $f$ for uma função
polinomial de grau menor ou igual a 1
então $P$ coincide com $f$.
\end{enumerate} %%%-------------------------------------

$P$ é o polinômio de Taylor de ordem 1 (ou zero). Historicamente se
chama a derivada de ``jacobiana'' no caso multivariado porque os nossos
antigos não consiguiram entender a matriz de coeficientes $J(f)$ era a 
derivada de $f$ e criaram o conceito de ``derivada parcial'' para as
entradas desta matriz
\begin{eqnarray}   
& \setcounter{equacaoTres}{\arabic{equation}}  %%%  (\arabic{equacaoTres})
f_{1} = \frac{\partial f}{\partial x_{1}}, cdots, 
f_{n} = \frac{\partial f}{\partial x_{n}}; \\
J(f) = \left( f_{1} \cdots f_{n}   \right)
\end{eqnarray} 
que é também o gradiente de $f$.

 Os programas 

{\tt exer01\_04a.gnuplot},
{\tt exer01\_05c.calc} 
podem
ser usados para resolver questões desta lista.

\underline{\bf Palavras chave} derivada parcial, equações paramétricas,
função multivariada,
plano tangente,
superfície, vetor normal.

\end{small}


\section[Assunto]{Exercícios}


\begin{enumerate}
%% evite ir além do (e) - corrija as questões antes de publicar 
%%  1)  %% coloque aqui o número da questão - facilita na correção
\item\underline{Equa\c{c}\~ao da reta no espaço 3D}
 
\begin{enumerate}


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Um vetor paralelo ao segmento de 
reta determinado pelos pontos $P_{1}=(1,2,3),P_{2}=(4,3,2)$ é
$$
P_{1}-P_{2} = (3,2,0)
$$

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}  Um vetor paralelo ao segmento de
reta determinado pelos pontos $P_{1}=(1,2,3),P_{2}=(4,3,2)$ é   
$$
P_{1}-P_{2} = (3,1,-1)
$$

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Uma reta, no espaço, é o conjunto dos
pontos (vetores) que são múltiplos de um vetor dado.

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}  Uma reta, no espaço, passando na origem, 
é o conjunto dos
pontos (vetores) que são múltiplos de um vetor dado.


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}  Uma reta, no espaço passando por
dois pontos  $P_{1},P_{2}$ dados, 
é o conjunto dos 
pontos (vetores) $X$ que são múltiplos do vetor diferença 
 $P_{1}-P_{2}$.

\end{enumerate}

\newpage
%% 2)
\item\underline{Equa\c{c}\~ao da reta no espaço 3D   }
\begin{enumerate}

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Uma reta, no espaço 3D é
a interseção de duas superfícies e esta é uma forma de determinação
da equação da reta no espaço.
 
\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Uma reta, no espaço 3D é
a interseção de dois planos e esta é uma forma de determinação
da equação da reta no espaço. 


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Uma reta, no espaço 3D, é
o conjunto dos vetores múltiplos de um vetor diferença dado,
translatados para um dos pontos,
$P2 + t(P_{1}-P_{2})$ isto produz 
as  suas equações paramêtricas. 


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} As equações paramétricas da reta que passa  nos pontos
$$P_{1}=(-3,2,-4),P_{2}=(4,3,2);
$$ são
\begin{eqnarray}
 &\setcounter{equacaoUm}{\arabic{equation}}  %%%  (\arabic{equacaoUm})
x = -3 + t(4 + 3); \\
& y = 2  + t(3 - 2); \\
& z = -4 + t(2 + 4); \\
& t \in \R 
      \end{eqnarray}


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}As equações paramétricas da reta que passa
nos pontos
$$P_{1}=(a,b,c),P_{2}=(p,q,r);
$$ são
\begin{eqnarray}
 &\setcounter{equacaoUm}{\arabic{equation}}  %%%  (\arabic{equacaoUm})
x = a + t(a - p); \\
& y = b  + t(b - q); \\
& z = c + t(c - r); \\
& t \in \R 
      \end{eqnarray}
\end{enumerate}

%% evite ir além do (e) - corrija as questões antes de publicar 
%%  3)  %% coloque aqui o número da questão - facilita na correção
\item\underline{Equação do plano}
\begin{enumerate}


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Plano é o lugar geométrico dos pontos
do espaço perpendiculares a um vetor dado, determinado por um ponto.


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} A equação do plano parelelo ao plano 
$XOY$ passando por $P=(1,2,3)$ é $z = 3$.



\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} A expressão
$$ A(x-a)  + B(y-b)  + C(z-c) + D = 0 $$
é a equação de uma plano no espaço 3D.


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} A expressão
$$ A(x-a)  + B(y-b)  + C(z-c) + D = 0 $$
é a equação de uma plano no espaço 3D, perpendicular
ao vetor $$(A,B,C);$$

 


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}  A expressão
$$ A(x-a)  + B(y-b)  + C(z-c) + D $$
é a equação de uma plano no espaço 3D, paralelo
ao vetor $$(A,B,C);$$


\end{enumerate}

%% evite ir além do (e) - corrija as questões antes de publicar 
%%  4)  %% coloque aqui o número da questão - facilita na correção
\item\underline{Equação do plano   }
\begin{enumerate}


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} A equa\c{c}\~ao do plano que
passa pelos pontos
$(1,1,1), (1,2,3), (3,-2,3).$
é
$$ 8x + 4y -2z = 0;
$$



\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} A equa\c{c}\~ao do plano que      
passa pelos pontos
$(1,1,1), (1,2,3), (3,-2,3).$
é
$$ 8(x-1)  + 4(y-1) -2(z-1) = 0;
$$
 

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Considere a equação do plano
que passa no ponto $P=(a,b,c)$
$$ A(x-a) + B(y-b) + C(z-c) = 0;
$$
A forma de obter o seu gráfico com {\tt gnuplot} consiste
em definir a função
$$ f(x,y) = c - \frac{A}{C}(x-a) - \frac{B}{C}(y-b)
$$
e usar o comando {\tt splot} com esta função.

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} Considere a equação do plano
que passa no ponto $P=(a,b,c)$
$$ A(x-a) + B(y-b) + C(z-c) = 0;
$$
Explicitando a variável $z$ se obtém a
função bivariada
$$ F(x,y) = c + \frac{A}{C}(x-a) + \frac{B}{C}(y-b)
$$


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}Considere a equação do plano
que passa no ponto $P=(a,b,c)$
$$ A(x-a) + B(y-b) + C(z-c) = 0;
$$
Explicitando a variável $z$ se obtém a
função bivariada
$$ F(x,y) = c - \frac{A}{C}(x-a) - \frac{B}{C}(y-b)
$$ 
cujas derivadas parciais são 
$$ \frac{\partial F}{\partial x} =  - \frac{A}{C};
 \frac{\partial F}{\partial y} = - \frac{B}{C}
$$ 

\end{enumerate}

%% evite ir além do (e) - corrija as questões antes de publicar 
%%  5)  %% coloque aqui o número da questão - facilita na correção
\item\underline{Equação do plano tangente } Nesta questão,
$ z = F(x,y)$ é uma função cujas derivadas parciais existem
e são funções contínuas em um certo domínio do plano.
\begin{enumerate}


\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]} A equação do plano tangente ao
gráfico de $$z=F(x,y)$$ no ponto $(a,b,F(a,b))$ é
$$
	z - c =  \frac{\partial F}{\partial x}(x-a) 
		+  \frac{\partial F}{\partial y}(y-b);
$$



\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}  A equação do plano tangente ao
gráfico de $$z=F(x,y)$$ no ponto $(a,b,F(a,b))$ é
$$
	z - F(a,b) =  + \frac{\partial F}{\partial x}(x-a) + 
\frac{\partial F}{\partial y}(y-b);
$$



\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}  A equa\c{c}\~ao do plano tangente
ao gr\'afico
da fun\c{c}\~ao 
$$z = F(x,y) = \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2} + y^{2}};
$$ 
no ponto $(a,b,f(a,b))$ para  $(a,b)=(1,1)$ é
$$
z = - (x-1) + (y -1) 
$$

%% \frac{\partial F}{\partial x}=
%% \frac{ 2x(x^{2} + y^{2} )- 2x(x^{2}-y^{2} )}{(x^{2} + y^{2})^{2}} 
%% \frac{\partial F}{\partial y}=
%% \frac{ -2y(x^{2} + y^{2} )- 2y(x^{2}-y^{2} )}{(x^{2} + y^{2})^{2}}
%%  em  exer01_05c.gnuplot  
%% u(x,y) = pow(x,2) + pow(y,2)
%% du_x(x,y) = 2*x; du_y(x,y) = 2*y
%% v(x,y) = pow(x,2) - pow(y,2)
%% dv_x(x,y) = 2*x; dv_y(x,y) = -2*y
%% F(x,y) = v(x,y)/u(x,y); dF_x(x,y) =  (dv_x(x,y)*u(x,y) -  v(x,y)*du_x(x,y))/pow(u(x,y),2)
%% dF_y(x,y) =  (dv_y(x,y)*u(x,y) -  v(x,y)*du_y(x,y))/pow(u(x,y),2)
%% a=1; b=1; A=dF_x(a,b); B=dF_y(a,b);
%% print "z = ", A,"(x - ",a,") + ",B,"*(y - "),b,") = 0 ";

\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}   A equa\c{c}\~ao do plano tangente
ao gr\'afico
da fun\c{c}\~ao 
$$z = F(x,y) = \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2} + y^{2}};
$$ 
no ponto $(a,b,f(a,b))$ para  $(a,b)=(1,1)$ é
$$
z - (x-1) + (y -1) = 0 
$$



\item\underline{(V)[\ ](F)[\ ]}   A equa\c{c}\~ao do plano tangente
ao gr\'afico
da fun\c{c}\~ao 
$$z = F(x,y) = x^{2}- 3xy + y^{2}
$$ 
no ponto $(a,b,f(a,b))$ para  $(a,b)=(-1,1)$ é
$$
z - 5  + 5(x+1) -5(y-1) = 0 
$$

\end{enumerate}


\end{enumerate} %%%-------------------------------------



